Binom
Ein Binom ist in der Mathematik ein Polynom mit zwei Gliedern. Der Name leitet sich ab von bi (lat.) = zwei und nomen (lat.) = Name.
Beispiele:
a + b \\ c - d \\ a^2 + b^2 \\ 5ab^4 - c^2Multiplikation
Für die Multiplikation zweier Binome gilt das Assoziativ- und das Distributivgesetz, so ergeben sich folgende Regeln:
(a + b)(c + d) = ac + ad +bc +bd \\ (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd \\ (a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bdBinomische Formel
Die Binomische Formel beschreibt einen Sonderfall, bei dem Binomen Potenziert werden. Allgemein gilt:
\begin{aligned} (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \end{aligned} \begin{pmatrix} n \\ k \end {pmatrix} a^{n-k} b^k , n \in \Nwobei
\begin{pmatrix} n \\ k \end {pmatrix}als Binominalkoeffizient bezeichnet wird.
Pascalsches Dreieck
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end {pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end {pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end {pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end {pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end {pmatrix} \\Setzt man auf der obersten Ebene eine 1 und für alle anderen Elemente
\begin{pmatrix} n \\ k \end {pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end {pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end {pmatrix} \\also die Summe der beiden oberhalb des Elements stehenden Elemente ergibt sich:
Exp 0 | 1 | ||||||||||
Exp 1 | 1 | 1 | |||||||||
Exp 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
Exp 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
Exp 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
Exp 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
So ergibt sich für jeden Binominalkoeffizienten
\begin{pmatrix} n \\ k \end {pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \\Binomische Formeln für Zweierpotenzen
Erste Binomische Formel
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2Zweite Binomische Formel
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2Dritte binomische Formel
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2Aufrufe: 56