Binomische Formeln

Binomische Formeln

Binom

Ein Binom ist in der Mathematik ein Polynom mit zwei Gliedern. Der Name leitet sich ab von bi (lat.) = zwei und nomen (lat.) = Name.

Beispiele:

a + b \\ c - d \\ a^2 + b^2 \\ 5ab^4 - c^2

Multiplikation

Für die Multiplikation zweier Binome gilt das Assoziativ- und das Distributivgesetz, so ergeben sich folgende Regeln:

(a + b)(c + d) = ac + ad +bc +bd \\ (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd \\ (a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd

Binomische Formel

Die Binomische Formel beschreibt einen Sonderfall, bei dem Binomen Potenziert werden. Allgemein gilt:

\begin{aligned} (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \end{aligned} \begin{pmatrix} n \\ k \end {pmatrix} a^{n-k} b^k , n \in \N

wobei

\begin{pmatrix} n \\ k \end {pmatrix}

als Binominalkoeffizient bezeichnet wird.


Pascalsches Dreieck

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end {pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end {pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end {pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end {pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end {pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end {pmatrix} \\

Setzt man auf der obersten Ebene eine 1 und für alle anderen Elemente

\begin{pmatrix} n \\ k \end {pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end {pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end {pmatrix} \\

also die Summe der beiden oberhalb des Elements stehenden Elemente ergibt sich:

Exp 01
Exp 111
Exp 2121
Exp 31331
Exp 414641
Exp 515101051
Fibonacci-Zahlen

So ergibt sich für jeden Binominalkoeffizienten

\begin{pmatrix} n \\ k \end {pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \\

Binomische Formeln für Zweierpotenzen

Erste Binomische Formel

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Zweite Binomische Formel

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Dritte binomische Formel

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

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