Ableitung von Funktionen

Ableitung von Funktionen

Differenzierbarkeit


Ableitungen der Elementarfunktionen

Konstante Funktion

f(x) = a, a \in \R
f'(x) = 0

Potenzfunktionen

f(x) = x^a, a \in \R \backslash \{0\}
f'(x) = ax^{a-1}, a \in \R

Trigonometrische Funktionen

f(x) = \sin(x), x \in \R
f'(x) = \cos(x), x \in \R

f(x) = \cos(x), x \in \R
f'(x) = -\sin(x), x \in \R

f(x) = \tan(x), x \in \R
f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x), x \in \R

f(x) = \cot(x), x \in \R
f'(x) = - \frac{1}{\sin^2(x)}, x \in \R

Exponentialfunktion

f(x) = e^x, x \in \R
f(x) = e^x, x \in \R

daraus folgt:

f(x) = e^x = f'(x) = f''(x) = f'''(x) ....

Logarithmus Naturalis

f(x) = ln(x), x \in \R
f'(x) = \frac{1}{x}, x \in \R

Faktorregel

f(x) = a \cdot g(x)
f'(x) = a \cdot g'(x)

Additionsregel

f(x) = u(x) + v(x)
f'(x) = u'(x) + v'(x)

Subtraktion erfolgt analog


Produktregel

f(x) = u(x) \cdot v(x)
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

Quotientenregel

f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}

Kettenregel

f(x) = u(x) \circ v(x) = u(v(x))
f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)

Die innere Funktion v(x) wird zuerst ausgeführt, die äußere Funktion u(x) wird darauf angewendet


Ableitungsregel für die Umkehrfunktion

f \circ f^{-1} (x) = x
f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

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